Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w

Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w to kompleksowy podręcznik poświęcony przemysłowemu systemowi kontroli Hdc 5100w. Podręcznik zawiera szczegółowe informacje na temat budowy, instalacji, konfiguracji, obsługi i konserwacji systemu Hdc 5100w. Podręcznik zawiera również szczegółowe instrukcje dotyczące prawidłowego projektowania i implementacji systemu Hdc 5100w, w tym wytyczne dotyczące wyboru i konfiguracji urządzeń peryferyjnych, ustawień systemu zabezpieczeń i procedur zarządzania. Podręcznik jest szczególnie przydatny dla inżynierów, którzy tworzą systemy Hdc 5100w w celu wykorzystania ich w celu kontroli i monitorowania procesów przemysłowych.

Ostatnia aktualizacja: Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w

Najpierw przeczytaj w słowniku, co znaczą symbole: $\forall$ $\forall$ i $\exists$ $\exists$ .

Przypomnijmy definicję granicy ciągu:

ciągu zbieżnego

Definicja: ciągu zbieżnego

Niech $g$ będzie liczbą rzeczywistą. $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = g$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{ε > 0} \exists_{N \in ℕ} \forall_{n > N} (x_{n} - g) < ε$ .

Definicję możemy przeczytać następująco:

Granicą ciągu $x_{n}$ jest liczba rzeczywista $g$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby dodatniej $ε$ można dobrać taką liczbę naturalną $N$ , że dla dowolnej liczby $n$ większej od $N$ zachodzi nierówność: $(x_{n} - g) < ε$ .

Można też powiedzieć następująco: w dowolnym otoczeniu liczby $g$ znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu $x_{n}$ .

Czy każdy ciąg ma granicę?

Otóż nie. Podamy teraz przykład ciągu, który nie ma granicy.

Przykład 1

Niech dany będzie ciąg: $x_{n} = (\begin{matrix} 1, & gdy n to liczba parzysta \\ - 1, & gdy n to liczba nieparzysta \end{matrix})$ .

Uzasadnimy, że żadna liczba rzeczywista nie może być granicą tego ciągu.

Zauważmy, że co drugi wyraz tego ciągu jest równy $1$ , a co drugi jest równy $(- 1)$ .

Gdyby $0$ było granicą, to zgodnie z definicją np. w przedziale $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , który jest otoczeniem zera, powinny się znajdować prawie wszystkie wyrazy ciągu $(x_{n})$ . Tymczasem żaden wyraz ciągu $(x_{n})$ nie należy do tego przedziału. Zatem $0$ nie jest granicą ciągu $(x_{n})$ .

RYDplqatFGdNo

Gdyby dodatnia liczba $g$ była granicą, to np. w przedziale $(\frac{g}{2}, \frac{3 g}{2})$ , który jest otoczeniem $g$ , powinny się znajdować prawie wszystkie wyrazy ciągu $(x_{n})$ . Tymczasem nieskończenie wiele wyrazów równych $(- 1)$ jest poza tym przedziałem, gdyż $\frac{g}{2} > 0$ . Zatem $g > 0$ nie jest granicą ciągu $(x_{n})$ .

R5wiNuIk6I8O4

Gdyby ujemna liczba $g$ była granicą, to np. w przedziale $(\frac{3 g}{2}, \frac{g}{2})$ , który jest otoczeniem $g$ , powinny się znajdować prawie wszystkie wyrazy ciągu $(x_{n})$ . Tymczasem nieskończenie wiele wyrazów równych $1$ jest poza tym przedziałem, gdyż $\frac{g}{2} < 0$ . Zatem $g < 0$ nie jest granicą ciągu $(x_{n})$ .

RJBlyOf0voOi4

Stąd wynika, że ciąg $(x_{n})$ nie posiada granicy liczbowej, czyli nie jest zbieżny. Taki ciąg będziemy nazywali ciągiem rozbieżnym.

W tym materiale zajmiemy się szczególnym typem ciągów, które nie są zbieżne.

Zajmiemy się szczególnie ciągami, których granicą jest $+ \infty$ lub $- \infty$ . Takie ciągi nazwiemy, odpowiednio, ciągami rozbieżnymi do $+ \infty$ lub $- \infty$ .

Podajmy zatem definicję ciągu rozbieżnego do $+ \infty$ oraz $+ \infty$ . Będzie ona w swojej strukturze podobna do definicji granicy ciągu zbieżnego.

ciągu rozbieżnego do nieskończoności

Definicja: ciągu rozbieżnego do nieskończoności

$\lim_{n \to + \infty} x_{n} = + \infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{M \in ℝ} \exists_{N \in ℕ} \forall_{n > N} x_{n} > M$ .

R1LRtISVoNGFq

$\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - \infty$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall_{M \in ℝ} \exists_{N \in ℕ} \forall_{n > N} x_{n} < M$ .

RKVGAfYroyZUq

Uwaga!

Możemy definicję ciągu rozbieżnego do $+ \infty$ wypowiedzieć także w ten sposób: dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od $M$ . Mówiąc jeszcze inaczej: dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału $(M, + \infty)$ .

Analogicznie:

Możemy definicję ciągu rozbieżnego do $- \infty$ wypowiedzieć także w ten sposób: dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od $M$ . Mówiąc jeszcze inaczej: dla każdej liczby rzeczywistej $M$ prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału $(- \infty, M)$ .

Przykład 2

Udowodnimy, że ciąg $x_{n} = n$ jest ciągiem rozbieżnym do $+ \infty$ .

Dowód

Wybierzmy dowolną liczbę rzeczywistą $M$ . Dla jakich wartości $n$ , zachodzi nierówność $x_{n} > M$ , czyli nierówność $n > M$ ?

Jeżeli $M \leq 0$ , to nierówność $n > M$ zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n$ , czyli możemy przyjąć, że $N = 0$ , gdyż dla $n > 0$ zachodzi nierówność $n > M$ .

Jeżeli $M > 0$ , to nierówność $n > M$ zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n > M$ , czyli możemy przyjąć, że $N = M$ , gdyż dla $n > N = M$ zachodzi nierówność $n > M$ .

Zatem dla dowolnej wartości $M$ dobraliśmy takie $N$ , że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność: $x_{n} = n > M$ , a to oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = + \infty$ .

Przykład 3

Udowodnimy, że ciąg $x_{n} = - n^{2}$ jest ciągiem rozbieżnym do $- \infty$ .

Dowód

Wybierzmy dowolną liczbę rzeczywistą $M$ . Dla jakich wartości $n$ , zachodzi nierówność $x_{n} < M$ , czyli nierówność $- n^{2} < M$ ?

Jeżeli $M > 0$ , to nierówność $- n^{2} < M$ zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n$ , czyli możemy przyjąć, że $N = 0$ , gdyż dla $n > 1$ zachodzi nierówność $- n^{2} < M$ .

Jeżeli $M \leq 0$ , to nierówność $- n^{2} < M$ zachodzi dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n > \sqrt{- M}$ , czyli możemy przyjąć, że $N = (\sqrt{- M})$ (jest częścią całkowitą z $\sqrt{- M}$ ), gdyż dla $n > (\sqrt{- M})$ zachodzi nierówność $- n^{2} < M$ .

Zatem dla dowolnej wartości $M$ dobraliśmy takie $N$ , że dla dowolnej liczby $n > N$ zachodzi nierówność: $- n^{2} < M$ , co oznacza, że $\lim_{n \to + \infty} x_{n} = - \infty$ .

Przykład 4

Udowodnimy, że ciąg $x_{n} = n^{2} - 3 n$ jest ciągiem rozbieżnym do $+ \infty$ .

Dowód

Najpierw zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej $n > 3$ zachodzi nierówność: $n^{2} - 3 n \geq n$ .

Jest tak dlatego, gdyż nierówność $n^{2} - 3 n \geq n$ jest równoważna nierówności $n (n - 4) \geq 0$ , która zachodzi dla każdej liczby naturalnej $n$ większej od $3$ .

Mamy udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej $M$ istnieje liczba naturalna $N$ , że dla dowolnej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność $x_{n} > M$ .

Jeżeli $M \leq 0$ , to nierówności $n^{2} - 3 n \geq n > M$ zachodzą dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n > 3$ , czyli możemy przyjąć, że $N = 3$ .

Jeżeli $M > 0$ , to nierówności $n^{2} - 3 n \geq n > M$ zachodzą dla wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n$ spełniających dwa warunki: $n > 3$ i $n > M$ , czyli możemy przyjąć, że $N = \max (4, M)$ .

Zatem dla dowolnej wartości $M$ dobraliśmy takie $N$ , że dla dowolnej liczby $n > N$ zachodzi nierówność: $n^{2} - 3 n > M$ , a to oznacza, że ciąg $x_{n} = n^{2} - 3 n$ jest ciągiem rozbieżnym do $+ \infty$ .

Uwaga!

Ostatni przykład pokazuje, jak prowadzimy dowód w przypadku bardziej skomplikowanych wzorów ciągów.

Taki ciąg $(x_{n})$ staramy się oszacowań przez ciąg $(y_{n})$ o prostym wzorze, dla którego łatwiej sprawdzić, dla jakich wartości $n$ spełniona jest nierówność $y_{n} > M$ . Przy czym pilnujemy, aby nierówność $x_{n} > y_{n}$ zachodziła dla prawie wszystkich liczb naturalnych (czyli by zachodziła od pewnego argumentu).

Słownik

prawie wszystkie wyrazy ciągu

wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem skończonej liczby wyrazów

kwantyfikator ogólny

symbol ten czytamy: dla każdego

kwantyfikator szczegółowy

symbol ten czytamy: istnieje

Cz�� g��wna

Spis polece�. Alfabetyczny spis polece� j�zyka (w trakcie opracowywania).
Wst�p. Kilka s��w o �r�d�ach i autorach. pl/~krawczyk/kurshtml/porady/porady. htm">Etykieta webmastera. Wystawiaj�c strony w World Wide Web, warto si� stosowa� do pewnych zasad. Przeczytaj kilka uwag technicznych i "ideologicznych", kt�re u�atwi� Tobie i innym obcowanie z WWW. pl/~krawczyk/kurshtml/beginner/beginner. htm">HTML dla bardzo pocz�tkuj�cych. Je�li nie znasz j�zyka HTML, przeczytaj najpierw ten rozdzia� - za kilka godzin b�dziesz webmasterem. pl/~krawczyk/kurshtml/struktur/struktur. htm">Struktura dokumentu. W tym miejscu zebra�em informacje o szkielecie dokumentu i stronach kodowych dla polskich liter. pl/~krawczyk/kurshtml/czcionka/czcionka. htm">Czcionki. Pogrubienie, pochylenie, wielko��, kolor - jednym s�owem, prawie wszystko o czcionkach. pl/~krawczyk/kurshtml/bloki/bloki. htm">Elementy blokowe. Tytu�y, akapity, linie i wiele innych polece�, kt�re wrzucono do worka o nazwie "Elementy blokowe". pl/~krawczyk/kurshtml/odsylacz/odsylacz. htm">Odsy�acze. Istot� Internetu s� odsy�acze - w tym rozdziale dowiesz si�, jak ��czy� ze sob� informacje w Sieci i jak sta� si� r�wnoprawnym trybikiem w tej wielkiej machinie. pl/~krawczyk/kurshtml/wykazy/wykazy. htm">Wykazy. Rozdzia� o tym, jak tworzy� uporz�dkowane wykazy informacji. pl/~krawczyk/kurshtml/multimed/grafika. htm">Grafika i multimedia. Tutaj opisuj�, jak wstawia� obrazki i d�wi�ki i wideo do dokument�w WWW. pl/~krawczyk/kurshtml/tabele/tabele. htm">Tabele. Wiele informacji o zasadach tworzenia i sposobach wykorzystywania tabel na stronach. pl/~krawczyk/kurshtml/style/style. htm">Style. Obszerny rozdzia� o stylach, czyli bardzo elastycznych technikach prezentacji stron. pl/~krawczyk/kurshtml/ramki/ramki. htm">Ramki. HTML 4 zezwala wreszcie urz�dowo na stosowanie ramek, czyli wygodnych metod nawigowania. pl/~krawczyk/kurshtml/float/float. htm">P�ywaj�ce ramki. O ramkach, ale zagnie�d�onych wewn�trz strony. pl/~krawczyk/kurshtml/form/form. htm">Formularze. Je�li chcesz uzyska� kontakt ze swoimi czytelnikami, tutaj dowiesz si� o technikach tworzenia formularzy. pl/~krawczyk/kurshtml/znaki/znaki. htm">Znaki specjalne. Znak�w jest znacznie wi�cej ni� ma ich nasza klawiatura. pl/~krawczyk/kurshtml/kolory/kolory. htm"> Kolory. Barwy internetowej t�czy (autor Pawe� Stokowski). pl/~krawczyk/kurshtml/ankieta/ankieta. htm">Ankieta. Je�li chcesz wyrazi� swoj� entuzjastyczn� opini� na temat mojego poradnika, mo�esz to zrobi� w�a�nie tutaj:-)

Uwagi dotyczące korzystania z Podręcznika online

Zabronione jest reprodukowanie, rozpowszechnianie i kopiowanie w części lub w całości tekstu, zdjęć lub obrazów opublikowanych w dokumencie Podręcznik online (nazywanym dalej „tym podręcznikiem”).
Zasadniczo firma Canon może zmieniać i usuwać zawartość tego podręcznika bez uprzedniego powiadomienia klientów. Ponadto firma Canon może zawiesić lub przerwać udostępnianie tego podręcznika z nieuniknionych powodów. Firma Canon nie będzie ponosić odpowiedzialności za żadne straty poniesione przez klientów w wyniku zmian lub usunięcia informacji zawartych w tym podręczniku ani też z powodu zawieszenia/przerwania im dostępu do tego podręcznika.
Mimo że zawartość tego podręcznika została przygotowana z największą starannością, prosimy skontaktować się z centrum serwisowym w przypadku wykrycia w nim jakichś nieprawidłowych lub niepełnych informacji.
Zasadniczo opisy zawarte w tym podręczniku powstały na podstawie charakterystyki produktu aktualnej w chwili jego początkowego wprowadzenia do sprzedaży.
Ten podręcznik nie zawiera dokumentacji wszystkich produktów sprzedawanych przez firmę Canon. W przypadku korzystania z produktu, którego nie dotyczy ten podręcznik, należy zapoznać się dokumentacją dostarczoną z użytkowanym produktem.

Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w

Ostatnia aktualizacja: Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w

Słownik

Cz�� g��wna

Uwagi dotyczące korzystania z Podręcznika online

Bezpośredni link do pobrania Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w

Ostatnia aktualizacja Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w

Ostatnia aktualizacja: Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w

Słownik

Cz�� g��wna

Uwagi dotyczące korzystania z Podręcznika online

Bezpośredni link do pobrania Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w

Ostatnia aktualizacja Przeczytaj najpierw ten podręcznik C4i Hdc 5100w

Komentarz

Zostaw komentarz